EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.[quantização de Graceli].

  G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   [ q G*]ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

[ q G*] ==G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR G+ GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI. 

[ q G*] = energia quântica Graceli.

Energia de translação e gases ideais

Ver artigo principal: Gás ideal

A energia cinética (newtoniana ou clássica) de uma partícula de massa m e velocidade v é dada pela expressão:

${\displaystyle H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),}$ /

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde v_x, v_y e v_z são as componentes cartesianas da velocidade v. H é o hamiltoniano, e portanto será utilizado como símbolo da energia dado que a mecânica de Hamilton desempenha um papel destacado na forma mais geral do teorema da equipartição.

Como a energia cinética é quadrática nos componentes da velocidade, por equipartição destas três componentes, cada uma contribui com ½k_BT para a energia cinética média em equilíbrio térmico. Portanto, a energia cinética da partícula é (3/2)k_BT, como no caso do exemplo dos gases nobres discutido previamente.

De forma mais geral, num gás ideal, a energia total consiste exclusivamente de energia cinética de translação: já que se assume que as partículas não possuem graus internos de liberdade e se movem de forma independente umas das outras. A equipartição portanto prediz que a energia total média de um gás ideal com N partículas é (3/2) N k_BT.

Portanto, a capacidade térmica de um gás é (3/2) N k_B e a capacidade térmica de um mol de partículas de dito gás é (3/2)N_Ak_B=(3/2)R, onde N_A é o número de Avogadro e R é a constante universal dos gases perfeitos. Como R ≈ 2 cal/(mol·K), a equipartição prediz que a capacidade térmica molar de um gás ideal é aproximadamente 3 cal/(mol·K). Esta predição foi confirmada experimentalmente.^[3]

A energia cinética média também permite calcular a raiz da velocidade quadrática média v_rms das partículas de gás, como:

${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde M = N_Am é a massa de um mol de partículas de gás. Este resultado é muito útil para aplicações tais como a Lei de Graham de efusão, da qual se deriva um método para enriquecer Urânio.^[4]

Energia rotacional e agitação molecular em solução

Ver artigo principal: Velocidade angular e Difusão rotacional

Um exemplo similar é o do caso de uma molécula que roda e cujos momentos de inercia principais são I₁, I₂ e I₃. A energia rotacional de dita molécula é dada por:

${\displaystyle H^{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ω₁, ω₂, e ω₃ são os componentes da velocidade angular. Seguindo um raciocínio similar ao utilizado no caso da translacção, a equipartição implica que, em equilíbrio térmico, a energia média de rotação de cada partícula é (3/2)k_BT. De forma similar, o teorema da equipartição permite calcular a velocidade angular média (mais precisamente, a raiz média quadrática) das moléculas.^[5]

A rotação das moléculas rígidas — ou seja, as rotações aleatórias de moléculas em solução — joga um papel de destaque nas relaxações observadas por meio de ressonância magnética nuclear, particularmente por ressonância magnética nuclear de proteínas e por acoplamento dipolar residual.^[6] A difusão rotacional pode também ser observada mediante outras técnicas biofísicas tais como a anisotropia fluorescente, a birrefringência de fluxo e a espectroscopia dieléctrica.^[7]

Energia potencial e osciladores harmónicos

A equipartição aplica-se tanto à energia potencial com à energia cinética. Exemplo importante disto são os osciladores harmónicos tais como as molas, que possuem una energia potencial quadrática:

${\displaystyle H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},\,}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde a constante a descreve a rigidez da mola e q é o desvio em relação ao equilíbrio. Se dito sistema unidimensional possui uma massa m, então a sua energia cinética H^kin é ½mv² = p²/2m, com v e p = mv a velocidade e o momento do oscilador, respectivamente. Combinando estes termos obtém-se a energia total^[8]:

${\displaystyle H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}aq^{2}.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Deste modo, a equipartição implica que, em equilíbrio térmico, o oscilador possui uma energia média:

${\displaystyle \langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B}T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde os colchetes angulares ${\displaystyle \left\langle \ldots \right\rangle }$ representam a média da quantidade contida entre eles.^[9]

Este resultado é válido para todo o tipo de osciladores harmónicos, como por exemplo num pêndulo, numa molécula que vibra ou num oscilador electrónico passivo. Existem numerosos sistemas que contêm este tipo de osciladores; mediante a equipartição, cada um destes osciladores recebe uma energia média total k_BT e portanto contribui k_B para a capacidade térmica do sistema. Esta última relação pode ser usada para obter a fórmula para o ruído de Johnson–Nyquist ou "ruído térmico"^[10] e a Lei de Dulong-Petit para a capacidade térmica molar dos sólidos. Esta última aplicação foi especialmente relevante na história da equipartição.

Capacidade térmica dos sólidos

Figura 3. Os átomos numa rede cristalina podem vibrar em redor das suas posições de equilíbrio na rede. Estas vibrações, em grande medida representam a capacidade térmica dos dielétricos cristalinos; com os electrões metálicos também contribuindo para a capacidade térmica.

Uma aplicação importante do teorema da equipartição é o do cálculo da capacidade térmica de um sólido cristalino. Cada átomo neste tipo de sólido pode oscilar em três direcções independentes, pelo que se pode pensar o sólido como sendo um sistema de 3N osciladores harmónicos simples independentes, onde N é o número de átomos na rede. Dado que cada oscilador harmónico possui uma energia média k_BT, a energia total média do sólido é 3Nk_BT, e a sua capacidade térmica é 3Nk_B.

Tomando o número de Avogadro N_A, e utilizando a relação R = N_Ak_B entre a constante dos gases R e a constante de Boltzmann k_B, encontra-se uma explicação para a lei de Dulong-Petit relativa às capacidades térmicas molares dos sólidos, que estabelece que a capacidade térmica por mol de átomos na rede é 3R ≈ 6 cal/(mol·K).

No entanto, esta lei não reproduz os dados experimentais a baixas temperaturas, devido à presença de efeitos quânticos; também é inconsistente com a terceira lei da termodinâmica, de acordo com a qual a capacidade térmica molar de qualquer substância deve tender a zero quando a temperatura se aproxima do zero absoluto.^[10] Uma teoria mais precisa, que incorpora efeitos quânticos, foi desenvolvida por Albert Einstein (1907) e Peter Debye (1911).^[11]

É possível representar outros numerosos sistemas físicos como conjuntos de osciladores acoplados. Os movimentos destes osciladores pode-se decompor em modos normais, similares aos modos de vibração de uma corda de piano ou das ressonâncias de um tubo de órgão. Por outra lado, a equipartição muitas vezes não funciona em ditos sistemas, porque não existe intercâmbio de energia entre os modos normais. Num caso extremo, os modos são independentes e portanto as suas energias se conservam de forma independente. Isto mostra que algum tipo de mistura de energias, chamada ergodicidade, é importante para que seja válida a lei da equipartição.

Sedimentação de partículas

Ver artigo principal: Sedimentação e Equação de Mason-Weaver

A energia potencial nem sempre possui uma dependência quadrática em relação à posição. No entanto, o teorema da equipartição também demonstra que se um grau de liberdade x contribui somente em uma fracção x^s (para um número real fixo s) para a energia, então a energia média em equilíbrio térmico dessa parte é k_BT/s.

Esta extensão possui uma aplicação no estudo de sedimentação de partículas sob acção da força de gravidade.^[12] Por exemplo, o enevoado que por vezes é observado na cerveja pode ser causada por aglutinações de proteínas que dispersam a luz.^[13] Como decorrer do tempo, estas aglutinações deslocam-se para baixo por efeito da força da gravidade, produzindo um aumento do enevoamento próximo da zona inferior do recipiente comparado com a zona superior. No entanto, mediante um processo que opera em direcção contrária, as partículas também difundem em sentido ascendente, em direcção à parte superior do recipiente. Uma vez alcançado o equilíbrio, o teorema da equipartição pode ser utilizado para determinar a posição média de una aglutinação particular de massa flutuante m_b. Para o caso de uma garrafa de cerveja de altura infinita, a energia potencial gravitacional é:

${\displaystyle H^{\mathrm {grav} }=m_{b}gz\,,}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde z é a altura da aglutinação de proteínas na garrafa e g é a aceleração da gravidade. Dado que s=1, a energia potencial média de um aglutinação de proteínas é k_BT. Portanto, uma aglutinação de proteínas com uma massa flutuante de 10 MDa (aproximadamente do tamanho de um vírus) produziria um enevoamento com uma altura média de aproximadamente 2 cm, em equilíbrio. O processo de sedimentação até se estabelecer um equilíbrio é descrito pela equação de Mason-Weaver.^[14]

O teorema do virial estabelece que a energia cinética média de um sistema de partículas é igual ao seu virial para os casos em que o valor médio de G seja constante, ou seja, ${\displaystyle \langle {\frac {dG}{dt}}\rangle =0}$:^[1]

${\displaystyle \langle T\rangle =S=-{\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle }$ .

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Considere-se a seguinte quantidade física:

${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}}$ .

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Nessa expressão ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ e ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}}$ são, respectivamente, o vetor posição e o vetor momento linear da k-ésima partícula de um sistema de partículas. O virial ${\displaystyle S}$ de um conjunto de ${\displaystyle N}$ partículas é definido de tal forma que

${\displaystyle S=-{\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle }$ .

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

O símbolo ${\displaystyle \left\langle \,\right\rangle }$ representa a média temporal da grandeza por ele encerrada ao longo do intervalo de tempo adequado à situação, tipicamente o período de oscilação em movimentos periódicos.

A expressão "virial" deriva do latim, vis, viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius em 1870.

Uma das grandes utilidades do teorema do virial se deve ao fato de que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística. Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema da equipartição, a equação de Clapeyron para os gases ideais ou mesmo para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.

Dedução da expressão matemática para o virial

A derivada temporal de G pode ser escrita como

${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

ou, de modo mais simples,

${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Aqui, ${\displaystyle m_{k}}$ representa a massa da ${\displaystyle k}$-ésima partícula, ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. é a força líquida atuando sobre a partícula e  é a energia cinética total do sistema.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

A média desta derivada no intervalo de tempo ${\displaystyle \tau }$ é definida como:

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Assim, tomando a média dos dois lados da expressão para a derivada de G com relação ao tempo, temos:

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Da expressão acima segue-se que, se ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0}$,/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  então

${\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0}$.

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Uma razão frequentemente citada se aplica a sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas. Nesse caso, o virial ${\displaystyle G^{\mathrm {bound} }}$ está normalmente entre dois valores extremos, ${\displaystyle G_{\min }}$ e ${\displaystyle G_{\max }}$, e a média vai a zero para o limite de tempos muitos longos ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Mesmo se a média da derivada temporal ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }}$ é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.

Assim, quando a média da derivada temporal de G anula-se,

${\displaystyle \left\langle T\right\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

que é a expressão matemática para o Teorema do Virial.^[2]

Relação com a energia potencial

A força total ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ atuando sobre a partícula ${\displaystyle k}$ é a soma de todas as forças exercidas pelas outras partículas do sistema, ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde, ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}}$ é a força aplicada pela partícula ${\displaystyle j}$ na partícula ${\displaystyle k}$. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial pode ser escrito como

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Como nenhuma partícula atua sobre sí mesma (i.e., ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=0}$, sempre que ${\displaystyle j=k}$), temos que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{j>k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right).}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde assumimos que a terceira lei de Newton pode ser aplicada, i.e., ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}}$ (reações iguais e opostas).

É comum acontecer que as forças possam ser derivadas da energia potencial ${\displaystyle V}$ que é uma função somente da distância, ${\displaystyle r_{jk}}$, entre as partículas ${\displaystyle j}$ e ${\displaystyle k}$. Como força é o gradiente da energia potencial, temos, neste caso

${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}},}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

a qual é igual e oposta a ${\displaystyle \mathbf {F} _{kj}=-\nabla _{\mathbf {r} _{j}}V}$,/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  a força aplicada pela partícula  sobre a partícula , como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial é

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}{\frac {\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)^{2}}{r_{jk}}}=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Aplicação a forças que seguem uma lei da potência

É comum acontecer que a energia potencial ${\displaystyle V}$ é uma função do tipo lei de potência

${\displaystyle V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^{n},}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde o coeficiente ${\displaystyle \alpha }$ e o expoente ${\displaystyle n}$ são constantes. Em tais casos, temos:

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV(r_{jk})=nU}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle U}$ é a energia potencial total do sistema

${\displaystyle U=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V(r_{jk}).}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Em tais casos, quando ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0}$, a equação geral torna-se

${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Um exemplo muito citado é a força de atração gravitacional, para a qual ${\displaystyle n=-1}$. Neste caso,

${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias, e também para sistemas eletrostáticos, para os quais ${\displaystyle n=-1}$, também.

A pesar de ter sido derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também vale para a mecânica quântica.

Inclusão de campos eletromagnéticos

O teorema do virial pode ser expandido para incluir o campo magnético e o campo elétrico.^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})dS_{i},}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde I é o momentum de inércia, G é o vetor de Poynting, T é a energia cinética do "fluido", U é a energia térmica (aleatória ou cinética) das partículas, W^E e W^M são as energias dos campos elétrico e magnético contidas no volume considerado. Finalmente, p_ik é o tensor pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local

${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma }}$,

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

e T_ik é o tensor de stress eletromagnético,

${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Um plasmoide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver que qualquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem paredes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termos do lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimar o tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raio R, então o momentum de inércia é aproximadamente MR², e o lado esquerdo do teorema do virial é MR ²/τ². Os termos no lado direito somam até cerca de pR³, onde p é o maior entre a pressão de plasma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos

${\displaystyle \tau \,\sim R/c_{s},}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde c_s é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnética é maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsito acústico (ou de Alfven).